基本作圖

　　教學目標

　　1．熟練運用尺規(guī)完成四種基本作圖，并會寫出已知、求作和作法．

　　2．培養(yǎng)學生準確的數(shù)學語言表達能力．

　　教學重點和難點

　　重點是掌握四種基本作圖；難點是用準確精練的幾何語言敘述作圖過程．

　　教學過程設計

　　一、作圖的預備知識

　　1．明確尺規(guī)作圖和基本作圖的含義．

　　教師應著重強調(diào)尺規(guī)作圖與以前畫圖的區(qū)別，如解釋以前角平分線，垂線、平行線的畫法為什么不符合尺規(guī)作圖的要求．

　　2．常用的作圖語句的練習．

　　(1)如圖1(a)，平面上有三點A，B，C，按下列要求完成作圖：

　�、龠^點A，點B作直線AB(簡稱“作直線AB”)；

　　②作射線CA；

　�、垩娱LBC到D，使 CD=BC；

　�、茉诰�段BA上截取BH=BC；

　�、葸B結(jié)兩點H，C(簡稱“連結(jié)HC”)．

　　答案見圖1(b)．

　　(2)如圖1(c)，按下列要求完成作圖：

　　①以點D為圓心，AD為半徑作弧交DC于E；

　　②分別以點B，C為圓心，DC為半徑作弧，兩弧交于點F，G．

　　以上為七種基本語句．

　　二、思考并實現(xiàn)四種基本作圖

　　1．作一個角等于已知角．

　　(1)教師帶領學生分析標題，分清已知、求作，并用數(shù)學符號表示．注意“求作”中先寫出作什么圖形，再寫出它所需滿足的條件．

　　已知∠AOB(如圖2(a))．求作：∠A′O′B′，使∠A′O′B′=∠AOB．

　　(2)教師應啟發(fā)學生思考作圖的實現(xiàn)過程，注意以下幾點：

　　①思路：利用全等三角形的判定方法來實現(xiàn)作圖過程，將∠AOB放到△COD中(如圖2(b))，利用“SAS”公理作出與△COD全等的△C′O′D′，從而得

　　到∠A′O′B′=∠AOB(如圖2(c))．

　�、跒楹喕�作圖過程，便于操作，可取△COD為等腰三角形，即在∠AOB的兩邊上截取OC=OD．更進一步地，可改造成尺規(guī)作圖的語言，引導學生用簡練的作圖語句準確描述作圖的實施過程．

　　(3)按照課本作法作圖并證明．證明時要注意作圖的作法中提供的邊的條件．

　　以下幾種基本作圖都可仿照此步驟處理．

　　2．平分已知角．

　　已知：∠AOB(如圖3)．

　　求作：∠AOB內(nèi)部的射線OC，使∠AOC=∠COB．

　　(1)教師重點分析作法是怎樣想出來的．

　　①借鑒基本作圖Ⅰ的思路，畫出符合條件的示意圖，分析如何構(gòu)造以∠AOC，

　　∠COB為元素的兩個全等三角形．

　　答：用“SSS”構(gòu)造△ODF與△OEF，其中OD=OE，F(xiàn)在OC上，DF=EF．

　�、诜治鋈绾斡米鲌D實現(xiàn)以上過程：

　　要使OD=OE，以O為圓心任意長為半徑作弧即可；要確定∠AOB上一點F，使DF=EF，只要分別以D，E為圓心，特定長a為半徑作弧，注意為保證兩弧能有

　　
　　(2)讓學生整理思路，按課本作法作圖并證明．

　　練習1 作平角∠AOB的平分線OC，并回答OC與直線AB有何關系？

　　練習2 如圖4，已知：鈍角∠MCN．

　�、偾笞鳌螹CN的平分線CF；

　�、谠趯W生畫出圖4的基礎上，求證ED⊥CF，CF平分DE．

　　3．經(jīng)過一點作已知直線的垂線．

　　已知直線AB和一點C，求作AB的垂線，使它過點C．

　　注意以下幾點：

　　(1)分析標題時，引導學生自發(fā)討論已知點C與已知直線AB的位置關系(兩種情況)．

　　(2)對于點C在直線AB上的情況，引導學生將新問題化歸為已知情況——過直線AB上一點C平分平角∠ACB．

　　(3)當點C不在直線AB上時，引導學生由練習2的作法和證明結(jié)論來提煉出本題的作圖方法：先確定D，E兩點(注意書上選取K點的作用)，再確定F點(找F時所作弧的半徑有特定條件)．

　　4．作線段的垂直平分線．

　　重點分析基本作圖4與練習2的關系．

　　分析圖4中的結(jié)論：CF垂直平分DE，要作DE的垂直平分線CF，只需確

　　
　　三、四種基本作圖的變式和復合練習

　　例1 用尺規(guī)按下列要求作圖．(不寫作法只畫圖)

　　(1)如圖5，在∠AOD的內(nèi)部作射線OB，使∠AOB=∠COD．

　　(2)作一個角的余角．

　　(3)把線段AB四等分．

　　(4)如圖6，在鈍角△ABC中，∠ABC為鈍角．求作：

　�、佟鰽BC中∠ACB的平分線CD；

　　②△ABC中BC邊上的高AH；

　�、跘C邊的中垂線EF；

　　④AB邊上的中線CG．

　　(5)如圖7，已知直線AB和AB外一點C．求作：過C的直線CD∥AB．(提示：過C作直線l交AB于點E，在點C處作∠CEB的同位角(或內(nèi)錯角)，使它等

　　于∠CEB．)

　　四、師生共同小結(jié)

　　1．目前已學過的五種基本作圖；

　　2．幾種常用的作圖語句；

　　3．尺規(guī)作圖的基本步驟；

　　4．以后作圖中再遇到五種基本作圖時，不必再重復作圖的詳細過程，只需給出標題，如作線段的垂直平分線”．

　　五、作業(yè)(略)

　　課堂教學設計說明

　　本教學設計需2課時完成．

　　1．為了分散難點，便于學生用語言準確敘述本節(jié)課的基本作圖，教師設計了預備知識這一部分，目的是讓學生熟悉所要用到的常用作圖語句，以及讓學生自己分析思考如何用這些語句來解決本節(jié)的基本作圖．

　　2．基本作圖的分析過程要教給學生分析的方法，逐層實現(xiàn)目的，并要揭示四個基本作圖分別“怎樣想出來”和“為什么這樣想”的思維過程，變學生“被動接受”為“主動探索發(fā)現(xiàn)”，更好地理解和掌握四種基本作圖．

　　3．教師根據(jù)課時情況，可將第三部分的基本作圖的部分練習題(如例1(1)，(4)①)插到基本作圖1，2后．

　　4．本課在基本作圖2后面設計了兩個練習，目的是既鞏固基本作圖2的各種變式情況下的作圖，又為基本作圖3，4啟發(fā)思路．實質(zhì)上，作角平分線與作垂線和中垂線的方法相類似．

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