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兩點(diǎn)之間線段最短教案
兩點(diǎn)之間,線段最短 北京市東直門中學(xué) 杜開龍
設(shè)計(jì)思想
(1)國(guó)家數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)指出:義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)課程,其基本出發(fā)點(diǎn)是促進(jìn)學(xué)生全面、持續(xù)、和諧地發(fā)展。它不僅要考慮數(shù)學(xué)自身的特點(diǎn),更應(yīng)遵循學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的心理規(guī)律,強(qiáng)調(diào)從學(xué)生已有的生活經(jīng)驗(yàn)出發(fā),讓學(xué)生親身經(jīng)歷將實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)模型并進(jìn)行解釋與應(yīng)用的過程,進(jìn)而使學(xué)生獲得對(duì)數(shù)學(xué)理解的同時(shí),在思維能力、情感態(tài)度與價(jià)值觀等多方面得到進(jìn)步和發(fā)展。
(2)初一學(xué)生從基礎(chǔ)知識(shí),基本技能和思維水平以及學(xué)習(xí)方式等方面有一個(gè)逐步適應(yīng)和提高的過程。因此,在進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí),必須時(shí)時(shí)考慮到新初一學(xué)生的學(xué)習(xí)實(shí)際,既不能盲目拔高,也不能搞簡(jiǎn)單化的結(jié)論式教學(xué)。在新課改的過程中,教學(xué)設(shè)計(jì)應(yīng)立足于學(xué)生實(shí)際,從大處著眼,深入挖掘教材內(nèi)容的素質(zhì)教育功能。
(3)數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)活動(dòng)的教學(xué),是師生之間、學(xué)生之間交往互動(dòng)與共同發(fā)展的過程。數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)從學(xué)生的實(shí)際出發(fā),創(chuàng)設(shè)有助于學(xué)生自主學(xué)習(xí)的問題情境,引導(dǎo)學(xué)生通過實(shí)踐、思考、探索、交流,獲得知識(shí),形成技能,發(fā)展思維,學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)。
(4)本課題通過對(duì)內(nèi)容的挖掘與整理,采用“問題情境──建立模型──解釋、應(yīng)用與拓展”的模式展開教學(xué),讓學(xué)生經(jīng)歷“從生活中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)──在教室里學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)──到生活中運(yùn)用數(shù)學(xué)” 這樣一個(gè)過程,從而更好地理解數(shù)學(xué)知識(shí)的意義,發(fā)展應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)的意識(shí)與能力,進(jìn)一步增強(qiáng)學(xué)好數(shù)學(xué)的愿望和信心。學(xué)生通過本節(jié)從具體情境發(fā)現(xiàn)并提出數(shù)學(xué)問題的學(xué)習(xí)活動(dòng),進(jìn)一步體會(huì)數(shù)學(xué)與自然及人類社會(huì)的密切聯(lián)系,了解數(shù)學(xué)的價(jià)值。在互動(dòng)交流活動(dòng)中,學(xué)習(xí)從不同角度理解問題,尋求解決問題的方法,并有效地解決問題。體會(huì)在解決問題中與他人合作的重要性。體會(huì)運(yùn)用數(shù)學(xué)的思維方式去觀察、分析現(xiàn)實(shí)社會(huì),去解決日常生活中和其他學(xué)科學(xué)習(xí)中的問題,增強(qiáng)應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)。
教學(xué)任務(wù)分析
教
學(xué)
目
標(biāo)
知識(shí)與技能
理解“兩點(diǎn)之間,線段最短”的結(jié)論,并能用這一結(jié)論解釋一些簡(jiǎn)單的問題。
數(shù)學(xué)思考
經(jīng)歷觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想等數(shù)學(xué)活動(dòng),發(fā)展合情推理能力,能有條理地、清晰地闡述自己的觀點(diǎn)。
解決問題
初步學(xué)會(huì)從數(shù)學(xué)的角度提出問題、理解問題,并能應(yīng)用所學(xué)知識(shí)解決問題;學(xué)會(huì)與他人合作,并能與他人交流思維的過程和結(jié)果。
情感態(tài)度價(jià)值觀
能積極參與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng),對(duì)數(shù)學(xué)有好奇心與求知欲;在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)中獲得成功的體驗(yàn),鍛煉克服困難的意志,建立自信心;初步認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)與人類生活的密切聯(lián)系,體驗(yàn)數(shù)學(xué)活動(dòng)充滿著探索與創(chuàng)造。
重點(diǎn)
結(jié)論的應(yīng)用過程和拓展問題的探究過程
難點(diǎn)
拓展問題的探究過程
教學(xué)流程安排
活動(dòng)流程圖
活動(dòng)內(nèi)容和目的
活動(dòng)1 熱身準(zhǔn)備 我想試試
活動(dòng)2 課題引入
1、幻燈片:組圖
2、數(shù)學(xué)活動(dòng)
活動(dòng)3 新課教學(xué)
解釋、應(yīng)用與交流
問題1、怎樣走最近?
問題2、河道長(zhǎng)度
問題3、九曲橋
3、拓廣探索與交流——螞蟻爬行最短問題
活動(dòng)4 回顧、思考與交流
以這首小詩(shī),激發(fā)學(xué)生大膽參與課堂探究的勇氣。
以實(shí)際問題情境引入,激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣。
在解釋、應(yīng)用與交流中理解數(shù)學(xué)內(nèi)容
引導(dǎo)探究繼續(xù)深入,引發(fā)對(duì)問題的深層思考,滲透轉(zhuǎn)化思想
學(xué)習(xí)、反思,提高、升華
課前準(zhǔn)備
教具
學(xué)具
補(bǔ)充材料
課件
正方體模型
教學(xué)過程設(shè)計(jì)
問題與情景
師生行為
設(shè)計(jì)意圖
熱身準(zhǔn)備
我想試試
羅賽蒂
那個(gè)說“我想試試”的小孩
他將登上山巔,
那個(gè)說“我不成”的小孩,
在山下停步不前。
“我想試試”每天辦成很多事,
“我不成”就真一事無成。
因此你務(wù)必說“我想試試”,
將“我不成”棄于埃塵。
一、課題引入
1、幻燈片:組圖
綠地里本沒有路,走的人多了… …
你能解釋一下原因何在?
2、數(shù)學(xué)活動(dòng):在紙上任意點(diǎn)兩點(diǎn),用線聯(lián)接它們,量一下它們的長(zhǎng)短,比較一下誰最短?
得出結(jié)論
二、新課教學(xué)
1、出課題:兩點(diǎn)之間,線段最短
學(xué)生朗讀——我想試試
教師提出問題
[1] [2] [3] 下一頁(yè)
學(xué)生獨(dú)立思考,小組交流后回答
教師布置數(shù)學(xué)活動(dòng)
學(xué)生分組進(jìn)行活動(dòng),給出探究結(jié)論。
教師板書課題
以這首小詩(shī),激發(fā)學(xué)生大膽參與課堂探究的勇氣。
以實(shí)際問題情境引入,激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣,引入本節(jié)課題
動(dòng)手具體做一做,在做中領(lǐng)悟數(shù)學(xué)
2、解釋、應(yīng)用與交流
問題1、怎樣走最近?
如圖1,從A地到B地有四條道路,除它們外能否再修一條從A地到B地的最短道路?
教師提出問題
學(xué)生思考、討論,發(fā)表看法
教師注意對(duì)學(xué)生幾何語言的訓(xùn)練(強(qiáng)調(diào)“連接AB”)
在解釋、應(yīng)用與交流中理解數(shù)學(xué)內(nèi)容
問題2、河道長(zhǎng)度
如圖2,把原來彎曲的河道改直,A、B兩地間的河道長(zhǎng)度有什么變化?
圖2
問題3、九曲橋
(2)如圖3,公園里設(shè)計(jì)了曲折迂回的橋,這樣做對(duì)游人觀賞湖面風(fēng)光有什么影響?與修一座筆直的橋相比,這樣做是否增加了游人在橋上行走的路程?說出其中的道理。
圖3
你還能舉出一些類似的例子嗎?
小貓看見魚,小狗看見骨頭后會(huì)怎樣運(yùn)動(dòng)?
有人過馬路到對(duì)面的商店去,但沒有走人行道,為什么呢?
其他
學(xué)生獨(dú)立思考、小組討論、組間交流,發(fā)表看法,相互評(píng)價(jià)
設(shè)置三個(gè)問題,通過解釋、應(yīng)用與交流活動(dòng),強(qiáng)化理解所學(xué)新知。
理解的四個(gè)層次:1、可以結(jié)合自己的體驗(yàn)或用自己的話闡述復(fù)雜概念;2、進(jìn)行聯(lián)想、比喻及推論;3、在新環(huán)境中能解決問題;
4、做出創(chuàng)新。
舉例也是考察學(xué)生對(duì)事物真正理解與否的方式之一。
3、拓廣探索與交流
螞蟻爬行路線最短問題
如圖4,一只螞蟻要從正方體的一個(gè)頂點(diǎn)A沿表面爬行到頂點(diǎn)B,怎樣爬行路線最短?如果要爬行到頂點(diǎn)C呢?
4
圖
利用手中的正方體具體實(shí)驗(yàn)一下,告訴大家你的結(jié)論。
學(xué)生獨(dú)立思考,小組實(shí)驗(yàn)、探究與交流,組間相互評(píng)價(jià)
動(dòng)手實(shí)驗(yàn),自主探究,合作交流。
發(fā)表觀點(diǎn),引發(fā)思考
引導(dǎo)探究繼續(xù)深入,引發(fā)對(duì)問題的深層思考,達(dá)到理解的第三層次。力爭(zhēng)達(dá)到第四層次,學(xué)生作出創(chuàng)新。
道理暫時(shí)說不出不要緊。關(guān)鍵是在活動(dòng)中獲得的副產(chǎn)品。
三、回顧、思考與交流
設(shè)想自己是一名園林設(shè)計(jì)師或者是一名管理者,在進(jìn)行公共綠地設(shè)計(jì)時(shí)對(duì)情境一的一些思考與探討能給你一些什么啟發(fā)。
四、作業(yè)
對(duì)螞蟻爬行最短問題的再思考:如果螞蟻在長(zhǎng)方體的一個(gè)頂點(diǎn)上,如果螞蟻在圓柱上,這時(shí)問題發(fā)生怎樣的變化?問題如何解?
請(qǐng)把你對(duì)此問題的研究寫成數(shù)學(xué)小作文,注意寫出自己的情感體驗(yàn)。
學(xué)習(xí)思考、組內(nèi)交流、組間交流
學(xué)習(xí)、反思,提高、升華
效果檢測(cè)
1、通過課堂學(xué)習(xí)活動(dòng)的展示與交流,學(xué)生對(duì)學(xué)生進(jìn)行相互評(píng)價(jià)
2、在學(xué)習(xí)活動(dòng)過程中教師注意及時(shí)地鼓勵(lì)、指導(dǎo)、點(diǎn)評(píng),實(shí)施過程評(píng)價(jià)
3、課后要求學(xué)生“螞蟻爬行最短”問題進(jìn)行繼續(xù)研究,并寫出數(shù)學(xué)小作文。
附件──本節(jié)課的后續(xù)影響的例舉
關(guān)于最短路徑思考
黃博陽(yáng)
我們已經(jīng)學(xué)過“兩點(diǎn)之間,線段最短”這個(gè)數(shù)學(xué)公理了。這看似簡(jiǎn)單的八個(gè)字蘊(yùn)涵著許多奧妙,將它擴(kuò)展、延伸可得到一個(gè)最短路徑問題、即求連接A、B兩點(diǎn)的線段中哪一條最短。
當(dāng)A、B在同一平面內(nèi)時(shí),即使是從北京到天津,我們也可以輕松地利用“兩點(diǎn)之間,線段最短”得出線段AB是A、B兩點(diǎn)間的最短路徑(如圖1-1)。
圖1-1
有人會(huì)說:“這也太簡(jiǎn)單了!”別著急,請(qǐng)看下面這道題(如圖2-1):
圖2-1
有一位將軍騎著馬要從A地走到B地,但途中要到水邊喂馬喝一次水,則將軍怎樣走最近。這道題乍一看似乎無從下手。但經(jīng)過觀察可以發(fā)現(xiàn)此題依然可以利用“兩點(diǎn)之間,線段最短”來解決問題,具體方法為:做B點(diǎn)與河面的對(duì)稱點(diǎn)B',連接AB',可得到馬喝水的地方C(如圖2-2)。
圖2-2
再連接CB得到這道題的解A→C→B。這就是著名的“將軍飲馬”問題。不信的話你可以在河邊任意取一點(diǎn)C'連接AC'和C'B,比較一下就知道了。
明白了剛才的平面問題,接下來看看立體圖形問題(如圖3-1)。
圖3-1
求點(diǎn)A到點(diǎn)C'的最短路徑是那一條。此時(shí)已不在同一平面內(nèi),不能直接利用公理解決問題。此時(shí),就要利用數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)化思想,把立體圖形轉(zhuǎn)化成平面圖形來研究(如圖3-2)。
圖3-2
從而得到兩條最短路徑:A→BC→C'和A→CD→C'。同理,還可以得出6條最短路徑來(如圖3-345)。
圖3-3 圖3-4 圖3-5
分別為:A→BC→C'、A→CD→C'、A→DD'→C'、A→BB'→C'、A→A'D'→C'、A→A'B'→C'。
那長(zhǎng)方體的最短路徑呢?我們來看一下這題(如圖4-1)
圖4-1
從A'到C,不經(jīng)過A'B'C'D'和ABCD兩面,怎樣走最近?我們不如先不考慮第二個(gè)條件,從上題可知有六條最短路徑,但此題與上題略有不同──長(zhǎng)方體各面不相等,因此我們需比較那條路徑最短。觀察發(fā)現(xiàn)這六條路徑,兩兩長(zhǎng)度相等,即只比較這三條路徑誰更短就可以了(如圖4-23)。
圖4-2&n
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bsp; 圖4-3
解:設(shè)長(zhǎng)方體長(zhǎng)、寬、高分別為x、y、z,依題意,得:
①=
②=
③=
∵ 2xy>2xz>2yz
∴ ③<②<①
即走第三條路徑最短。
得到從A'到C的路徑中從A'→BB'→C和A'→DD'→C最短,與第二個(gè)已知條件無關(guān)。
平面是這樣,那曲面呢?我們?cè)倏匆活}(如圖5-1),從A到B,怎樣走最近呢?與前兩題相同,把圓柱體展開(如圖5-2),此時(shí),只有A點(diǎn)位于與長(zhǎng)方形的交界處時(shí),才是最短路徑,且只有一條最短路徑AB。
圖5-1 圖5-2
從上面幾題可以看出立體圖形中的最短路徑問題,都可先把立題圖形轉(zhuǎn)化成平面圖形再思考。而且得出正方體有6條最短路徑;長(zhǎng)方體有2條最短路徑;圓柱有1條最短路徑。這短短的八個(gè)字還真是奧妙無窮啊!
教師注:初一剛?cè)雽W(xué)不久的學(xué)生,能把問題一個(gè)問題表述得如此清晰,很是難能可貴。不足之處是在對(duì)圓柱體問題的探究中考慮不周,有其他可能未進(jìn)行探究。繼續(xù)努力,力爭(zhēng)把問題研究的更清楚、更透徹。
兩點(diǎn)之間線段最短的探究與再思考
原靜雯
初一上學(xué)期,我們學(xué)習(xí)了兩點(diǎn)之間線段最短的知識(shí),并利用它作了一節(jié)課,相信大家對(duì)它還是記憶猶新的。自從那次課后,不知大家有沒有進(jìn)行更深的思考,小人不才,愿用這貧乏的文字,說一說我的想法。
探究問題一:已知,A,B在直線L的兩側(cè),在L上求一點(diǎn),使得PA+PB最小。(如圖所示)
解:根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短的基本概念,只用連接AB即可輕松的得到答案。如圖所示。線段AB與直線L的交點(diǎn),就是題目要求的點(diǎn)P。
總結(jié):本題雖然十分簡(jiǎn)單,但卻是所有有關(guān)本類題目難題的基礎(chǔ),是必須要牢記與掌握的。下面一題,就是上一題的變形,你還會(huì)做嗎?
探究問題二:已知,A,B在直線L的同一側(cè),在L上求一點(diǎn),使得PA+PB最小。(如圖所示)
解:本題的難點(diǎn)不在于解題過程,而在于解題的思想,往往大家不能正確的找到解題的思路。那么,我就在此拋磚引玉,說說我的看法。首先,作點(diǎn)B關(guān)于L的對(duì)稱點(diǎn)B',(如圖所示),因?yàn)镺B'=OB,∠BOP=∠B',OP=OP,所以△OPB≌△OPB'。所以,PB=PB'。因此,求AP+BP就相當(dāng)于求AP+PB'。這樣,復(fù)雜的問題便通過轉(zhuǎn)化變得簡(jiǎn)單,成了探究問題一。因此只用連接AB'即可,與直線L的交點(diǎn),就是題目要求的點(diǎn)P。
結(jié)論:我們完全也可以把以上的結(jié)論當(dāng)作一個(gè)模塊牢記下來,成為自己解題的方法之一。
探究問題三:A是銳角MON內(nèi)部任意一點(diǎn),在∠MON的兩邊OM,ON上各取一點(diǎn)B,C,組成三角形,使三角形周長(zhǎng)最小。(如圖所示)
解:利用探究問題二的結(jié)論,作A與OM的對(duì)稱點(diǎn)D,再作A與ON的對(duì)稱點(diǎn)E。連接DE(如圖所示),據(jù)上題鋪墊,我們可得,AB=BD,AC=CE,又因?yàn)镈,B,C,E在一條直線上,所以,這時(shí)的周長(zhǎng)是最短的。
總結(jié):本題可總結(jié)為“三角形的一點(diǎn)決定”。下面我們看一看四邊形一邊確定。
探究問題四:AB是銳角MON內(nèi)部一條線段,在角MON的兩邊OM,ON上各取一點(diǎn)C,D組成四邊形,使四邊形周長(zhǎng)最小。(如圖所示)
解:有了上一題的鋪墊,本題似乎簡(jiǎn)單了許多,作A關(guān)于OM的對(duì)稱點(diǎn)E,再作B關(guān)于ON的對(duì)稱點(diǎn)F,連接EF即可。如圖。ABCD便是周長(zhǎng)最小的。
(2)下面我把上一題簡(jiǎn)單變形,把銳角變?yōu)橹苯?大家再看,本圖有沒有似曾相識(shí)之感?對(duì)了,我們見過的,只用把兩條直角邊所在直線看作是一個(gè)平面直角坐標(biāo)系,再把AB兩點(diǎn)固定位置,這樣,就變?yōu)榱嗽驴几郊宇}中的最后一題。
原題:在直角坐標(biāo)系中,有四個(gè)點(diǎn)A(-8,3)、B(-4,5)、C(0, n)、D(m,o),當(dāng)四邊形ABCD的周長(zhǎng)最短時(shí),求m/n的值。
解:依題意畫圖得:
由探究問題四得知,作B關(guān)于Y軸的對(duì)稱點(diǎn)B',A關(guān)于X軸的對(duì)稱點(diǎn)A'。連接A'B',他們與X軸,Y軸的交點(diǎn)便為所求。如圖所示,過A'與B'兩點(diǎn)的直線的函數(shù)解析式可求。設(shè)過A'與B'兩點(diǎn)的直線的函數(shù)解析式為y=kx+b.
依題意得:-8k+b=-3, 4k+b=5
解得,k=2/3,b=7/3
所以,(0,n)為(o,7/3)
(m,o)為(-3.5,o)
所以,m/n=-2/3
以上,便就是我對(duì)此問題的一些想法,復(fù)雜費(fèi)解的問題是不是簡(jiǎn)單了許多?好理解了許多呢?
來源:人教網(wǎng)
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